12. sınıf: Üstel Fonksiyon

Üstel fonksiyonda değişken üsttedir; pozitif ve birden farklı taban büyüme ya da azalmayı belirler. Aynı oranda ardışık değişim, eşit miktarda değişimden farklıdır.

Çözüm yaklaşımı

Tabanın birden büyük veya sıfır ile bir arasında olmasını ayırın. Tablo, kural ve grafikteki değişimleri ilişkilendirin; gerçek yaşam modelinin başlangıç ve zaman birimlerini koruyun.

İlgili kazanımlar

12.1.1.1 Üstel fonksiyonu açıklar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

t\in\mathbb{R}

2^t=u,\quad 3^t=v,\quad 7^t=w

olsun.

1764^t

ifadesinin

u,v,w

cinsinden eşiti hangisidir?

A)
$u^{3}\,v^{2}\,w^{2}$
B)
$u^{2}\,v^{2}\,w^{2}$
C)
$u^{2}\,v^{2}\,w^{3}$
D)
$u^{3}\,v^{3}\,w^{3}$
E)
$u^{2}\,v^{3}\,w^{2}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Bileşik tabanı asal çarpanlarına ayırma): Tabanın asal çarpanları ve üsleri belirlenir.

1764=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}

2. Adım (Verilen kuvvetleri yerine koyma): Çarpımın kuvveti dağıtılır; verilen eşitlikler kullanılır.

1764^t=(2^t)^{2}\cdot (3^t)^{2}\cdot (7^t)^{2}

(2^t)^{2}\cdot (3^t)^{2}\cdot (7^t)^{2}=u^{2}\,v^{2}\,w^{2}

Cevap

u^{2}\,v^{2}\,w^{2}

Örnek 2

t\in\mathbb{R}

2^{t+1}=u,\quad 5^{t-1}=v

olduğuna göre

50^t

ifadesinin

u,v

cinsinden eşiti hangisidir?

A)
$\frac{125u\,v^{2}}{2}$
B)
$\frac{25u\,v^{2}}{2}$
C)
$25u\,v^{2}$
D)
$50u\,v^{2}$
E)
$\frac{75u\,v^{2}}{2}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Bileşik tabanı ayırma): İstenen taban verilen asal tabanlarla yazılır.

50=2\cdot 5^{2}

2. Adım (Kaydırılmış üsleri giderme): Her eşitlikteki sabit kuvvet çarpanı ayrılır.

2^t=\frac{u}{2}

5^t=5v

3. Adım (Katsayıyı ve değişken kuvvetlerini birleştirme): Bulunan iki kuvvet, tabanın ayrışımındaki üslerle birleştirilir.

50^t=(\frac{u}{2})\cdot (5v)^{2}=\frac{25u\,v^{2}}{2}

Cevap

\frac{25u\,v^{2}}{2}

Örnek 3

2^t=u,\quad 3^t=v,\quad 7^t=w

olmak üzere

1764^t=u^a v^b w^c

eşitliği bütün gerçek

t

değerleri için sağlansın.

a,b,c

doğal sayıdır.

a+2b+2c

değeri kaçtır?

A)
$9$
B)
$8$
C)
$12$
D)
$11$
E)
$10$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Bileşik tabanı asal çarpanlarına ayırma): Tabanın asal çarpanları ve üsleri belirlenir.

1764=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}

2. Adım (Asal tabanlardaki üsleri eşleme): Eşitlik bütün gerçek üsler için sağlandığından asal çarpan ayrışımının tekliği kullanılır.

1764^t=u^{2}\,v^{2}\,w^{2}

a=2

b=2

c=2

3. Adım (İstenen toplamı hesaplama): Bulunan üç üs, istenen ağırlıklı toplamda yerine yazılır.

a+2b+2c=2+2\cdot 2+2\cdot 2=10

Cevap

10

Sık yapılan hatalar

Üstel büyümeyi her adımda aynı miktarın eklenmesi sanmak.
Taban sıfır ile bir arasındayken sıralama yönünü büyüyen fonksiyon gibi yorumlamak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalış Öğretmen alanında hazırla

Sınıf konularına dön