12. sınıf: Üslü İfadeler ve Üslü Denklemler

Üslü ifadelerde büyük bir tabanı doğrudan hesaplamak yerine, verilen tabanların çarpımı veya bölümü biçiminde yazmak işlemi kolaylaştırır. Aynı tabana dönüşebilen denklemlerde de üsler üzerinden ilerlenebilir. Aşağıdaki örnekler pozitif tabanları asal çarpanlarına ayırma, kuvveti kesre dağıtma ve bir üslü çarpımı denkleme dönüştürme görevlerini bir araya getirir.

Bileşik tabanı verilen kuvvetlerle ilişkilendirin

a ve b pozitifken çarpımın kuvveti (ab)^t = a^t · b^t biçiminde ayrılır. Tabanı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra verilen eşitlikleri yerine koyun. Örneğin 2^t = u ve 3^t = v ise 12 = 2² · 3 olduğundan 12^t = u²v olur. Çarpanlardaki üsleri korumak, son ifadenin kuvvetlerini doğru belirler.

Kesrin pay ve paydasını ayrı düzenleyin

a ve b pozitifken (a/b)^t = a^t/b^t kuralı uygulanır. Paydaki ve paydadaki çarpanları ayrı ayrı verilen kuvvetlere dönüştürün. Örneğin 2^t = u ve 3^t = v için (8/9)^t = u³/v² elde edilir. Paydadaki kuvvetin üssü kaybolmaz; bölme işlemi de toplama veya çıkarmaya dönüşmez.

Aynı tabanlı çarpımda üsleri toplayın

Pozitif bir a tabanı için a^r · a^s = a^(r+s) olur. Çok sayıda çarpan varsa önce her çarpanın üssünü ve toplam terim sayısını belirleyin. Örneğin a^(1+c) ile başlayıp a^(m+c) ile biten çarpımın üssü 1 + 2 + … + m + mc'dir. Sabit c her çarpanda bulunduğu için m kez eklenir.

Üsleri eşitlemeden önce tabanın koşullarını kontrol edin

a > 0 ve a ≠ 1 olduğunda a^u = a^v eşitliğinden u = v çıkar. İki tarafı bu koşulları sağlayan aynı tabanda yazdıktan sonra elde edilen denklemi çözün. Son adımda soru hangi sayı kümesini istiyorsa kökleri ona göre süzün: doğal sayı istenen bir soruda negatif kök kabul edilmez. Bir çarpımın üst sınırı değişkense bulunan değerin çarpan sayısıyla da uyumlu olduğunu kontrol edin.

Çözümlü sorular

Örnek 1

t\in\mathbb{R}

2^t=u,\quad 3^t=v,\quad 7^t=w

olsun.

1764^t

ifadesinin

u,v,w

cinsinden eşiti hangisidir?

A)
$u^{3}\,v^{2}\,w^{2}$
B)
$u^{2}\,v^{2}\,w^{2}$
C)
$u^{2}\,v^{2}\,w^{3}$
D)
$u^{3}\,v^{3}\,w^{3}$
E)
$u^{2}\,v^{3}\,w^{2}$

Çözümü ve cevabı göster

1. Adım (Bileşik tabanı asal çarpanlarına ayırma): Tabanın asal çarpanları ve üsleri belirlenir.

1764=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}

2. Adım (Verilen kuvvetleri yerine koyma): Çarpımın kuvveti dağıtılır; verilen eşitlikler kullanılır.

1764^t=(2^t)^{2}\cdot (3^t)^{2}\cdot (7^t)^{2}

(2^t)^{2}\cdot (3^t)^{2}\cdot (7^t)^{2}=u^{2}\,v^{2}\,w^{2}

Cevap

u^{2}\,v^{2}\,w^{2}

Sık yapılan hatalar

Aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsleri toplamak yerine çarpmak.
(a + b)^t ifadesini, çarpımın kuvveti kuralı gibi a^t + b^t biçiminde dağıtmak.
Tabanlar aynı ve uygun değilken üsleri eşitlemek veya bulunan köklerin soru koşuluna uygunluğunu denetlememek.

Çalışmaya devam edin

Çözümde kullandığınız yöntemi farklı sorular üzerinde deneyin. Öğrenci alanında mevcut konulara göre çalışabilir, öğretmen alanında sınıfınıza uygun çalışma kâğıtları hazırlayabilirsiniz.

Öğrenci alanında çalış Öğretmen alanına geç

12. sınıf konularına dön