12. sınıf: Logaritma Fonksiyonu

Logaritma, verilen pozitif ve birden farklı tabanın hangi kuvvetinin pozitif argümana eşit olduğunu belirtir. Taban pozitif ve birden farklı, argüman pozitif olmalıdır.

Çözüm yaklaşımı

Logaritmalı eşitliği üslü eşitliğe çevirerek anlamını kontrol edin. Çarpım ve bölüm kurallarını uygularken tanım koşullarının her terim için korunduğuna dikkat edin.

İlgili kazanımlar

12.1.2.1 Logaritma fonksiyonu ile üstel fonksiyonu ilişkilendirerek problemler çözer.
12.1.2.2 10 ve e tabanında logaritma fonksiyonunu tanımlayarak problemler çözer.
12.1.2.3 Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak işlemler yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

\log_{\sqrt{5}}125=u

Eşitliği sağlayan u değeri kaçtır?

A)
$7$
B)
$6$
C)
$\frac{1}{6}$
D)
$-6$
E)
$-\frac{1}{6}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Tanım koşulları ve üstel eşitlik): Köklü taban pozitif ve birden farklı, argüman pozitiftir. Logaritma tanımını kullanarak eşitliği üstel biçime dönüştürürüz.

\sqrt{5}>0,\quad \sqrt{5}\ne1,\quad 125>0

\log_{\sqrt{5}}125=u\Longleftrightarrow \left(\sqrt{5}\right)^{u}=125

2. Adım (Köklü tabanı ortak kuvvete dönüştürme): Karekökü yarım kuvvet olarak yazarız. İki tarafı aynı tabanda ifade edip üsleri eşitler, bulunan denklemin iki tarafını 2 ile çarparız.

\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}},\quad 125=5^{3}

\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{u}=5^{3}\Longrightarrow 5^{\frac{u}{2}}=5^{3}

\frac{u}{2}=3\Longrightarrow u=2\cdot 3=6

Cevap

6

Örnek 2

a>0

a\ne1

t>0

olsun.

u(x)=\log_a x

v(x)=\log_{a^{2}}x

fonksiyonları tanımlanıyor.

u(t)=6

olduğuna göre,

v(t^{5})

ifadesinin değeri kaçtır?

A)
$21$
B)
$9$
C)
$30$
D)
$15$
E)
$-15$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Paydaki logaritmayı hesaplama): Tabanı değiştirdiğimizde pay olarak kullanılacak logaritmayı önce hesaplarız. Argümanın üssü katsayı olur; verilen fonksiyon değerini yerine yazarız.

\log_a(t^{5})=5\cdot u(t)

\log_a(t^{5})=5\cdot 6=30

2. Adım (Taban değiştirmenin paydasını hesaplama): Yeni taban olarak a kullanırız. Eski tabanın bu tabandaki logaritması, kuvvetin üssüne eşittir.

\log_a(a^{2})=2

3. Adım (Tabanı değiştirip sonucu bulma): Taban değiştirme kuralında payı paydaya böleriz. Hesapladığımız iki değeri kullanıp sonucu en sade biçimde yazarız.

v(t^{5})=\frac{\log_a(t^{5})}{\log_a(a^{2})}

v(t^{5})=\frac{30}{2}=15

Cevap

15

Örnek 3

\ln\left(e^{5}\right)-\ln\left(e^{-4}\right)+\ln\left(\sqrt[3]{e}\right)

İşlemin sonucu kaçtır?

A)
$9$
B)
$\frac{1}{3}$
C)
$\frac{4}{3}$
D)
$\frac{28}{3}$
E)
$12$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (1. logaritmayı hesaplama): Bu doğal logaritmada e'nin kuvvetinin üssünü okuruz; negatif üs varsa işaretini koruruz.

\ln\left(e^{5}\right)=5

2. Adım (2. logaritmayı hesaplama): Bu doğal logaritmada e'nin kuvvetinin üssünü okuruz; negatif üs varsa işaretini koruruz.

\ln\left(e^{-4}\right)=-4

3. Adım (Köklü terimin logaritmasını hesaplama): Kök derecesini üssün paydasına yazarız. Elde edilen e kuvvetinin doğal logaritmasını alırız.

\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}

\ln\left(\sqrt[3]{e}\right)=\ln\left(e^{\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{3}

4. Adım (Bulunan değerlerle işlemi tamamlama): Negatif sayıyı çıkarmanın toplama olduğunu kullanırız. Tam sayı toplamını ortak paydaya getirip kesirli terimi ekleriz.

\begin{aligned}5-(-4)+\frac{1}{3}&=9+\frac{1}{3}\\&=\frac{9\cdot 3+1}{3}=\frac{28}{3}\end{aligned}

Cevap

\frac{28}{3}

Sık yapılan hatalar

Bir toplamın logaritmasını logaritmaların toplamı sanmak.
Negatif veya sıfır argümanı işlem içinde kabul etmek.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalış Öğretmen alanında hazırla

Sınıf konularına dön