9. sınıf: Gerçek Sayı Aralıkları ve Küme İşlemleri

Bir gerçek sayı aralığı, iki sınır arasındaki bütün gerçek sayıları anlatır. Sınır değerlerinin kümeye dahil olup olmadığı, aralığın gösterimini ve küme işlemlerinin sonucunu değiştirir. Bu sayfadaki örnekler eşitsizlikten aralık yazmaya, iki aralığın farkını almaya ve kesişimdeki pozitif tam sayıları saymaya odaklanır.

Her ucu kendi eşitsizliğine göre yazın

< veya > sınır değerini dışarıda bırakır; o uçta normal parantez kullanılır. ≤ veya ≥ sınır değerini dahil eder; o uçta köşeli parantez kullanılır. Örneğin −2 < x ≤ 5 koşulu (−2, 5] aralığıdır. İki ucun aynı tür paranteze sahip olması gerekmez. Sonsuzluk bir gerçek sayı olmadığı için sonsuzluk tarafında daima açık uç gösterimi kullanılır.

Kesişimde iki koşulu birlikte sağlayın

A ∩ B, hem A'da hem B'de bulunan sayılardan oluşur. Önce ortak kalan bölgeyi belirleyin, sonra sınırları ayrı ayrı denetleyin. Örneğin [1, 6] ile (4, 9) aralıklarının kesişimi (4, 6] olur. 4 ikinci aralıkta bulunmadığı için dışarıda, 6 her ikisinde bulunduğu için içeridedir. Ortak sayı yoksa kesişim boş kümedir.

Fark işleminde hangi kümeden başladığınıza dikkat edin

A ∖ B, A'da olup B'de bulunmayan sayıları seçer. Önce A'nın bütününü düşünün ve B'nin içerdiği kısmı çıkarın. Örneğin [1, 8) ∖ [5, 10] = [1, 5) olur. 5, B'nin elemanı olduğundan sonuçta yer almaz. Sıra önemlidir: B ∖ A farklı bir küme olabilir; ayrıca bir fark kümesi iki ayrı aralıktan oluşabilir.

Pozitif tam sayıları son aralığın içinde sayın

İstenen küme işlemini tamamlamadan saymaya başlamayın. Son aralıkta bulunan pozitif tam sayıları belirleyin; 0 ve negatif sayılar bu sayımda yer almaz. İlk ve son dahil edilen pozitif tam sayılar p ve q ise, p ≤ q olduğunda adet q − p + 1'dir. Örneğin (2, 7] içinde 3, 4, 5, 6 ve 7 vardır; beş sayı bulunur. Uygun pozitif tam sayı yoksa adet sıfırdır.

Çözümlü sorular

Örnek 1

$\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 8\}$ kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A)
$[2, 8)$
B)
$(2, 8]$
C)
$[2, 8]$
D)
$(1, 8]$
E)
$(2, 8)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Açık Uç ( $<$ ) ve Kapalı Uç ( $\le$ ) Sembollerini Aralık Parantezine Çevirme): Kümenin sol ucu açık ve sağ ucu kapalı olduğundan aralık gösterimi

(2, 8]

olarak yazılır. Kullanılan kural:

\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 8\} = (2, 8]

. Bu adımda yapılan işlem:

\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 8\}\;\Longrightarrow\;(2, 8]

Cevap

(2, 8]

Örnek 2

A = [0, 9)

B = [7, 13]

aralıkları veriliyor. Buna göre $A \setminus B$ fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A)
$[7, 9)$
B)
$[0, 7)$
C)
$(0, 7)$
D)
$[0, 7]$
E)
$[0, 13]$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım ( $A$ Kümesinde Olup $B$ Kümesinde Olmayan Elemanları ( $A \setminus B$ ) Belirleme):

A \setminus B

fark kümesi

[0, 7)

olarak bulunur. Kullanılan kural:

A \setminus B = [0, 7)

. Bu adımda yapılan işlem:

[0, 9) \setminus [7, 13]\;\Longrightarrow\;[0, 7)

Cevap

[0, 7)

Örnek 3

A = [0, 7]

B = [1, 13]

aralıkları veriliyor. Buna göre $A \cap B$ kesişim kümesinde kaç tane pozitif tam sayı vardır?

A)
$7$
B)
$14$
C)
$8$
D)
$9$
E)
$6$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Kesişim Aralığını Belirleyip İçerisindeki Pozitif Tam Sayıları ( $Z^+$ ) Sayma):

A \cap B

aralığında yer alan pozitif tam sayıların adedi

7

olarak bulunur. Kullanılan kural:

A \cap B = [1, 7] \implies \text{Pozitif Tam Sayı Adedi} = 7

. Bu adımda yapılan işlem:

[1, 7] \cap \mathbb{Z}^+\;\Longrightarrow\;7

Cevap

7

Sık yapılan hatalar

Eşitsizlikteki < ile ≤ işaretlerini aynı parantezle göstermek.
A ∖ B yerine B ∖ A işlemini yapmak veya çıkarılan kümenin uçlarını sonuçta bırakmak.
Pozitif tam sayıları sayarken 0'ı dahil etmek ya da iki dahil uç arasındaki adette +1'i unutmak.

Çalışmaya devam edin

Çözümde kullandığınız yöntemi farklı sorular üzerinde deneyin. Öğrenci alanında mevcut konulara göre çalışabilir, öğretmen alanında sınıfınıza uygun çalışma kâğıtları hazırlayabilirsiniz.

Öğrenci alanında çalış Öğretmen alanına geç

9. sınıf konularına dön