12. sınıf: Türevin Uygulamaları

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• 12.5.3.1 Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türev yardımıyla belirler.
• 12.5.3.2 Bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum noktalarını belirler.
• 12.5.3.3 Türevi yardımıyla bir fonksiyonun grafiğini çizer.
• 12.5.3.4 Maksimum ve minimum problemlerini türev yardımıyla çözer.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Grafikte $g$ eğrisine $P_1$, $P_2$, $P_3$ noktalarında çizilen teğetler sırasıyla $t_1$, $t_2$, $t_3$ olarak adlandırılmıştır. Bu üç teğetin eğimlerinin işaretlerini sırasıyla bulunuz.

• A)
  $\left(+,-,0\right)$
• B)
  $\left(0,-,+\right)$
• C)
  $\left(0,+,-\right)$
• D)
  $\left(+,0,-\right)$
• E)
  $\left(-,+,0\right)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Teğet yönlerinden eğim işaretleri): Her teğeti soldan sağa izleriz. Yükselen doğrunun eğimi pozitif, yatay doğrununki sıfır, alçalan doğrununki negatiftir. Teğet numaralarının sırasını koruruz. $$m_i=\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i},\quad \Delta x_i>0,\quad i\in\{1,2,3\}\longrightarrow \left(0,+,-\right)$$

Cevap

$\left(0,+,-\right)$

Örnek 2

$g$ fonksiyonu $[-4,1]$ aralığında süreklidir. Grafikte işaretli iç noktalar dışında türevi vardır ve sıfır değildir. Sarı kısa parçalar yatay teğetleri gösterir. Aralığın içindeki bütün yerel ekstremum noktalarının koordinatlarını bulunuz.

• A)
  $\{(-3,7),(-2,3),(-1,5),(0,8)\}$
• B)
  $\{(-4,1),(-3,7),(-2,3),(0,8),(1,4)\}$
• C)
  $\{(-3,7),(-2,3),(0,8)\}$
• D)
  $\{(-3,7),(0,8)\}$
• E)
  $\{(-2,3)\}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Grafiğin açık parçalarını okuma): İşaretli noktalar arasındaki grafiği soldan sağa izleriz; yükselme türevin pozitif, alçalma negatif olduğunu gösterir. $$x\in[-4,1],\quad (x_1,\ldots,x_{4})=(-3,-2,-1,0)\longrightarrow \operatorname{sgn}(g'):(+,-,+,+,-),\quad \{x:g'(x)=0\}=\{-2,-1\},\quad \{x:g'(x)\text{ tanımsız}\}=\{-3,0\}$$

2. Adım (İstenen grafik bilgisini çıkarma): Grafiğin yön değiştirdiği iç noktalarda yerel ekstremum vardır; köşe olması bunu engellemez. Yön değişmeyen yatay noktaları ve aralığın uçlarını bu iç ekstremum kümesine almayız. $$\operatorname{sgn}(g'):(+,-,+,+,-),\quad \{x:g'(x)=0\}=\{-2,-1\},\quad \{x:g'(x)\text{ tanımsız}\}=\{-3,0\},\quad \{(x_i,g(x_i))\}=\{(-3,7),(-2,3),(-1,5),(0,8)\}\longrightarrow \{(-3,7),(-2,3),(0,8)\}$$

Cevap

$\{(-3,7),(-2,3),(0,8)\}$

Örnek 3

Grafikte üçüncü dereceden g polinomunun kökleri R ve S ile kök olmayan P noktası işaretlidir. Grafikten $g(x)$ kuralını bulunuz.

• A)
  $g(x)=2(x+4)(x+1)^{2}$
• B)
  $g(x)=2(x+4)^{2}(x+1)$
• C)
  $g(x)=4(x+4)(x+1)^{2}$
• D)
  $g(x)=-2(x+4)(x+1)^{2}$
• E)
  $g(x)=2(x+4)(x+1)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Görünen kök çoklukları): Üçüncü dereceden polinomda ekseni kesen kök basit, eksene dokunup dönen kök çifttir; çoklukların toplamı üçtür. $$R=(-4,0),\quad S=(-1,0),\quad \text{R: ekseni keser},\quad \text{S: eksene dokunur},\quad \deg g=3\longrightarrow g(x)=k(x+4)(x+1)^{2},\quad k\ne0$$

2. Adım (Noktadan ölçek katsayısı): Kök olmayan P noktasının koordinatlarını çarpanlı kurala yerleştirerek sıfırdan farklı ölçek katsayısını buluruz. $$g(x)=k(x+4)(x+1)^{2},\quad k\ne0,\quad P=(-3,8)\longrightarrow k=2$$

3. Adım (Fonksiyonun kuralı): Bulunan ölçek katsayısını kök çokluklarını koruyan çarpanlı kurala yerleştiririz. $$g(x)=k(x+4)(x+1)^{2},\quad k\ne0,\quad k=2\longrightarrow g(x)=2(x+4)(x+1)^{2}$$

Cevap

$g(x)=2(x+4)(x+1)^{2}$

Sık yapılan hatalar

• Türevin sıfır olduğu her noktayı ekstremum saymak.
• En büyük ve en küçük değer hesabında aralık uçlarını atlamak.

Çalışmaya devam edin