ZenOkul

12. sınıf: Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik denklemlerin çözümleri periyodiktir. Aynı trigonometrik değeri veren farklı açılar ve istenen aralık birlikte dikkate alınmalıdır.

Çözüm yaklaşımı

Önce temel açıları bulun, sonra genel çözüm ailelerini yazın. Soruda belirli bir aralık varsa uçların dahil olup olmadığını kontrol ederek uygun kökleri seçin.

İlgili kazanımlar

  • 12.3.2.1 Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Bir sergi salonundaki simetrik askı çerçevesinin mahya yüksekliği h=24h=24 birim, çatı eğimi tan⁡α=815\tan\alpha=\frac{8}{15} ve her uçtaki güvenlik boşluğu e=2e=2 birimdir. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Ortadaki platformun genişliğini bulunuz.
  • A)
    8686
  • B)
    5151
  • C)
    8888
  • D)
    4343
  • E)
    9090
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Yarım açıklığı eğimden bulma): Çatı eğimi ve mahya yüksekliği yarım açıklığı belirler. Kullanılan bağıntı: tan⁡α=ha\tan\alpha=\frac{h}{a} Bu adımda yapılan işlem: h=24,tan⁡α=815,e=2  ⟹  a=htan⁡α=24815=45h=24,\quad \tan\alpha=\frac{8}{15},\quad e=2\;\Longrightarrow\;a=\frac{h}{\tan\alpha}=\frac{24}{\frac{8}{15}}=45
2. Adım (Güvenli platform): İki uç boşluğu çıkarılır. Kullanılan kural: W=2(a−e)W=2(a-e). Bu adımda yapılan işlem: a=htan⁡α=24815=45,e=2  ⟹  W=2(a−e)=2(45−2)a=\frac{h}{\tan\alpha}=\frac{24}{\frac{8}{15}}=45,\quad e=2\;\Longrightarrow\;W=2(a-e)=2(45-2)
3. Adım (Platform ölçüsü): Kullanılabilir genişlik yazılır. Kullanılan kural: Aritmetik. Bu adımda yapılan işlem: W=2(a−e)=2(45−2)  ⟹  86W=2(a-e)=2(45-2)\;\Longrightarrow\;86
Cevap
8686

Örnek 2

Sergi askı çerçevesinin tam açıklığı B=90B=90 birim, çatı eğimi tan⁡α=815\tan\alpha=\frac{8}{15} ve uç uzantısı e=2e=2 birimdir. Standartlar: eğim tan⁡α≥3130\tan\alpha\ge\frac{31}{30}, mahya yüksekliği h≤23h\le23, uç uzantısı e≥2e\ge2. Kod açıklaması: D eğim, E yükseklik, G uç uzantısı; + standarda uygun, - uygun değil. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Denetim kodunu belirleyiniz.
  • A)
    D:+; E:-; G:+
  • B)
    D:-; E:-; G:-
  • C)
    D:-; E:-; G:+
  • D)
    D:-; E:+; G:+
  • E)
    D:+; E:+; G:-
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Çatı ölçülerini eğimden bulma): Tam açıklık ikiye bölünür ve yükseklik eğim oranından hesaplanır. Kullanılan bağıntı: B=2a,tan⁡α=haB=2a,\quad \tan\alpha=\frac{h}{a} Bu adımda yapılan işlem: B=90,tan⁡α=815,e=2  ⟹  a=B2=45,h=atan⁡α=24B=90,\quad \tan\alpha=\frac{8}{15},\quad e=2\;\Longrightarrow\;a=\frac{B}{2}=45,\quad h=a\tan\alpha=24
2. Adım (Standartları ayrı ayrı karşılaştırma): Gerçek eğim, mahya yüksekliği ve uç uzantısı kendi sınırlarıyla karşılaştırılır. Kullanılan kural: Eğim, yükseklik ve uç uzantısı sınırları. Bu adımda yapılan işlem: a=B2=45,h=atan⁡α=24,tan⁡α=815,e=2;tan⁡α≥3130, h≤23, e≥2  ⟹  tan⁡α=815<3130 (D uygun deg˘il);h=24>23 (E uygun deg˘il);e=2≥2 (G uygun)a=\frac{B}{2}=45,\quad h=a\tan\alpha=24,\quad \tan\alpha=\frac{8}{15},\quad e=2;\quad \tan\alpha\ge\frac{31}{30},\ h\le23,\ e\ge2\;\Longrightarrow\;\tan\alpha=\frac{8}{15}<\frac{31}{30}\ (\text{D uygun değil});\quad h=24>23\ (\text{E uygun değil});\quad e=2\ge2\ (\text{G uygun})
3. Adım (Denetim kodu): D, E ve G sonuçları sırayla raporlanır. Kullanılan kural: Uygunluk sonuçlarını kodlama. Bu adımda yapılan işlem: tan⁡α=815<3130 (D uygun deg˘il);h=24>23 (E uygun deg˘il);e=2≥2 (G uygun)  ⟹  D:-; E:-; G:+\tan\alpha=\frac{8}{15}<\frac{31}{30}\ (\text{D uygun değil});\quad h=24>23\ (\text{E uygun değil});\quad e=2\ge2\ (\text{G uygun})\;\Longrightarrow\;\text{D:-; E:-; G:+}
Cevap
D:-; E:-; G:+

Örnek 3

Sergi askı çerçevesinin tam açıklığı B=90B=90 birim, mahya yüksekliği h=24h=24 ve uç uzantısı e=2e=2 birimdir. Standartlar: eğim tan⁡α≥3130\tan\alpha\ge\frac{31}{30}, mahya yüksekliği h≤23h\le23, uç uzantısı e≥2e\ge2. Kod açıklaması: D eğim, E yükseklik, G uç uzantısı; + standarda uygun, - uygun değil. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri İki eş payandanın toplam boyunu ve denetim kodunu bulunuz.
  • A)
    L=51, D:-; E:-; G:+L=51,\ \text{D:-; E:-; G:+}
  • B)
    L=102, D:+; E:-; G:+L=102,\ \text{D:+; E:-; G:+}
  • C)
    L=90, D:-; E:-; G:+L=90,\ \text{D:-; E:-; G:+}
  • D)
    L=104, D:-; E:-; G:+L=104,\ \text{D:-; E:-; G:+}
  • E)
    L=102, D:-; E:-; G:+L=102,\ \text{D:-; E:-; G:+}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Yarım açıklık ve eğim): Tam açıklıktan yarım açıklık, ardından gerçek çatı eğimi bulunur. Kullanılan bağıntı: B=2a,tan⁡α=haB=2a,\quad \tan\alpha=\frac{h}{a} Bu adımda yapılan işlem: B=90,h=24,e=2  ⟹  a=B2=45,tan⁡α=ha=815B=90,\quad h=24,\quad e=2\;\Longrightarrow\;a=\frac{B}{2}=45,\quad \tan\alpha=\frac{h}{a}=\frac{8}{15}
2. Adım (Bir payandanın boyu): Dik üçgenden bir eğik payandanın uzunluğu hesaplanır. Kullanılan bağıntı: ℓ2=a2+h2\ell^2=a^2+h^2 Bu adımda yapılan işlem: a=45,h=24  ⟹  ℓ=a2+h2=452+242=51a=45,\quad h=24\;\Longrightarrow\;\ell=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{45^2+24^2}=51
3. Adım (Standart karşılaştırmaları): Her ölçü kendi standardıyla karşılaştırılarak denetim kodu türetilir. Kullanılan kural: Eğim, yükseklik ve uç uzantısı sınırları. Bu adımda yapılan işlem: a=B2=45,tan⁡α=ha=815,h=24,e=2;tan⁡α≥3130, h≤23, e≥2  ⟹  tan⁡α=815<3130;h=24>23;e=2≥2⟹D:-; E:-; G:+a=\frac{B}{2}=45,\quad \tan\alpha=\frac{h}{a}=\frac{8}{15},\quad h=24,\quad e=2;\quad \tan\alpha\ge\frac{31}{30},\ h\le23,\ e\ge2\;\Longrightarrow\;\tan\alpha=\frac{8}{15}<\frac{31}{30};\quad h=24>23;\quad e=2\ge2\quad\Longrightarrow\quad \text{D:-; E:-; G:+}
4. Adım (Toplam boy ve denetim raporu): İki eş payandanın toplamı ve açık karşılaştırmalardan çıkan kod birlikte raporlanır. Kullanılan bağıntı: L=2ℓL=2\ell Bu adımda yapılan işlem: ℓ=a2+h2=452+242=51;tan⁡α=815<3130;h=24>23;e=2≥2⟹D:-; E:-; G:+  ⟹  L=102, D:-; E:-; G:+\ell=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{45^2+24^2}=51;\quad \tan\alpha=\frac{8}{15}<\frac{31}{30};\quad h=24>23;\quad e=2\ge2\quad\Longrightarrow\quad \text{D:-; E:-; G:+}\;\Longrightarrow\;L=102,\ \text{D:-; E:-; G:+}
Cevap
L=102, D:-; E:-; G:+L=102,\ \text{D:-; E:-; G:+}

Sık yapılan hatalar

  • Yalnız ters trigonometrik fonksiyonun verdiği tek açıyı çözüm kabul etmek.
  • Derece ve radyan birimlerini aynı işlemde karıştırmak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanında hazırla
Sınıf konularına dön