ZenOkul

12. sınıf: Toplam-fark Ve İki Kat Açı Formülleri

Toplam-fark ve iki kat açı bağıntıları, trigonometrik ifadeleri bilinen açı değerleriyle ilişkilendirir. İşaretler, açının bulunduğu bölgeyle birlikte değerlendirilir.

Çözüm yaklaşımı

Uygun bağıntıyı seçip açıları açıkça eşleştirin. Sonucu birim çemberdeki işaret ve mümkün değer aralığıyla kontrol edin.

İlgili kazanımlar

  • 12.3.1.1 İki açının ölçüleri toplamının ve farkının trigonometrik değerlerine ait formülleri oluşturarak işlemler yapar.
  • 12.3.1.2 İki kat açı formüllerini oluşturarak işlemler yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Şekilde ışın, kırılma indisleri n1n_1 ve n2n_2 olan iki saydam ortam arasında ilerlemektedir. n1=3n_1=3, θ1=15∘\theta_1=15^\circ ve θ2=45∘\theta_2=45^\circ olduğuna göre sin⁡θ1sin⁡θ2=n2n1\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{n_2}{n_1} bağıntısını kullanarak n2n_2 değerini bulunuz.
  • A)
    n2=−3+334n_2 = \frac{-3+3\sqrt{3}}{4}
  • B)
    n2=−3−332n_2 = \frac{-3-3\sqrt{3}}{2}
  • C)
    n2=3+332n_2 = \frac{3+3\sqrt{3}}{2}
  • D)
    n2=3n_2 = 3
  • E)
    n2=−3+332n_2 = \frac{-3+3\sqrt{3}}{2}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Snell Bağıntısını Düzenleme): Bilinmeyen ikinci ortam indisi bağıntıda yalnız bırakılır. Kullanılan bağıntı: sin⁡θ1sin⁡θ2=n2n1\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1} Bu adımda yapılan işlem: n1=3,θ1=15∘,θ2=45∘  ⟹  n2=3⋅sin⁡15∘sin⁡45∘n_1=3,\quad \theta_1=15^\circ,\quad \theta_2=45^\circ\;\Longrightarrow\;n_2=3\cdot\frac{\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ}
2. Adım (Özel Açı Değerlerini Kullanma): Bileşik açı sinüsü tam olarak hesaplanır ve oran sadeleştirilir. Kullanılan kural: Toplam-fark formülüyle kesin sinüs değerleri. Bu adımda yapılan işlem: n2=3⋅sin⁡15∘sin⁡45∘  ⟹  n2=−3+332n_2=3\cdot\frac{\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ}\;\Longrightarrow\;n_2 = \frac{-3+3\sqrt{3}}{2}
Cevap
n2=−3+332n_2 = \frac{-3+3\sqrt{3}}{2}

Örnek 2

x∈Rx\in\mathbb{R} ve cos⁡(2x)=−1725\cos(2x)=-\frac{17}{25} olduğuna göre cos⁡x\cos x değerinin alabileceği değerleri bulunuz.
  • A)
    cos⁡x=±710\cos x=\pm \frac{7}{10}
  • B)
    cos⁡x=±25\cos x=\pm \frac{2}{5}
  • C)
    cos⁡x=25\cos x=\frac{2}{5}
  • D)
    cos⁡x=−25\cos x=-\frac{2}{5}
  • E)
    cos⁡x=±15\cos x=\pm \frac{1}{5}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (İki Kat Açı Bağıntısını Çözme): Kosinüsün karesi, verilen iki kat açı değerinden tam kesirle bulunur. Kullanılan bağıntı: cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x)=2\cos^2x-1 Bu adımda yapılan işlem: cos⁡(2x)=−1725  ⟹  cos⁡2x=425\cos(2x)=-\frac{17}{25}\;\Longrightarrow\;\cos^2x=\frac{4}{25}
2. Adım (İki Gerçek Kökü Alma): Açı bölgesi belirtilmediği için pozitif ve negatif kareköklerin ikisi de mümkündür. Kullanılan bağıntı: u2=r2⇒u=±ru^2=r^2\Rightarrow u=\pm r Bu adımda yapılan işlem: cos⁡2x=425  ⟹  cos⁡x=±25\cos^2x=\frac{4}{25}\;\Longrightarrow\;\cos x=\pm \frac{2}{5}
Cevap
cos⁡x=±25\cos x=\pm \frac{2}{5}

Örnek 3

qq ve vv gerçek sayı olmak üzere sin⁡(q−v)\sin\left(q-v\right) ifadesinin toplam-fark formülüyle açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
  • A)
    sin⁡(q−v)=cos⁡qcos⁡v+sin⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\cos q\cos v+\sin q\sin v
  • B)
    sin⁡(q−v)=sin⁡qcos⁡v+cos⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\sin q\cos v+\cos q\sin v
  • C)
    sin⁡(q−v)=sin⁡qcos⁡v−cos⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\sin q\cos v-\cos q\sin v
  • D)
    sin⁡(q−v)=sin⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\sin q\sin v
  • E)
    sin⁡(q−v)=cos⁡qcos⁡v−sin⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\cos q\cos v-\sin q\sin v
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Toplam-Fark Bağıntısını Oluşturma): Sinüsün açı bileşiminde çapraz sinüs-kosinüs çarpımları kullanılır ve işlemin işareti korunur. Kullanılan kural: Açı bileşiminden toplam-fark bağıntısı. Bu adımda yapılan işlem: sin⁡(q−v)  ⟹  sin⁡(q−v)=sin⁡qcos⁡v−cos⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)\;\Longrightarrow\;\sin\left(q-v\right)=\sin q\cos v-\cos q\sin v
Cevap
sin⁡(q−v)=sin⁡qcos⁡v−cos⁡qsin⁡v\sin\left(q-v\right)=\sin q\cos v-\cos q\sin v

Sık yapılan hatalar

  • Bir toplamın sinüsünü sinüslerin toplamı sanmak.
  • İki kat açı bağıntısında çarpım terimini atlamak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanında hazırla
Sınıf konularına dön