12. sınıf: Limit Ve Süreklilik

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• 12.5.1.1 Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limit ve sağdan limit kavramlarını açıklar.
• 12.5.1.2 Limit ile ilgili özellikleri belirterek uygulamalar yapar.
• 12.5.1.3 Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini açıklar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

$f(x)=-\left(x+2\right)^{2}+2\left(x+2\right)+2$ fonksiyonunun $-2$ çevresindeki bazı tam değerleri aşağıdaki tabloda ve grafikte verilmiştir. $$\begin{array}{c|cccc}x & -\frac{11}{5} & -\frac{101}{50} & -\frac{99}{50} & -\frac{9}{5}\\ \hline f(x) & \frac{39}{25} & \frac{4899}{2500} & \frac{5099}{2500} & \frac{59}{25}\end{array}$$ Buna göre $\lim_{x\to -2}f(x)$ kaçtır?

• A)
  $\frac{4899}{2500}$
• B)
  $\frac{59}{25}$
• C)
  $\frac{5099}{2500}$
• D)
  $2$
• E)
  $\frac{39}{25}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Hedefe Göre Yeniden Yazma): Hedef apsise olan uzaklık yeni değişken seçilerek aynı polinom yeniden yazılır. Kullanılan kural: Grafikten okuma ve limit kuralları. Bu adımda yapılan işlem: $$f(x)=-\left(x+2\right)^{2}+2\left(x+2\right)+2\;\Longrightarrow\;f(-2+t)=2+2t-t^{2}$$

2. Adım (İki Taraftan Yaklaşma): Uzaklık her iki yönden sıfıra yaklaşırken doğrusal ve ikinci derece terimler sıfıra yaklaşır. Kullanılan kural: Grafikten okuma ve limit kuralları. Bu adımda yapılan işlem: $$f(-2+t)=2+2t-t^{2}\;\Longrightarrow\;\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=2$$

3. Adım (İki Yönlü Limiti Yazma): Eşit tek taraflı limitlerin ortak değeri iki yönlü limittir. Kullanılan kural: Grafikten okuma ve limit kuralları. Bu adımda yapılan işlem: $$\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=2\;\Longrightarrow\;2$$

Cevap

$2$

Örnek 2

Grafikte işaretli apsislerin iki yanında $f$ fonksiyonunun yaklaşımı gösterilmiştir. $\frac{\lim_{u\to -2}f(u)+\lim_{u\to 1}f(u)}{\lim_{u\to 4}f(u)}$ ifadesinin değerini bulunuz.

• A)
  $\frac{9}{4}$
• B)
  $\frac{4}{9}$
• C)
  $9$
• D)
  $\frac{9}{2}$
• E)
  $-\frac{3}{4}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Grafikten limit okuma): Eğrinin işaretli apsise soldan ve sağdan yaklaştığı aynı ordinat limit değeridir. $$\lim_{u\to -2}f(u)=3$$

2. Adım (Grafikten limit okuma): Eğrinin işaretli apsise soldan ve sağdan yaklaştığı aynı ordinat limit değeridir. $$\lim_{u\to 1}f(u)=6$$

3. Adım (Grafikten limit okuma): Eğrinin işaretli apsise soldan ve sağdan yaklaştığı aynı ordinat limit değeridir. $$\lim_{u\to 4}f(u)=4$$

4. Adım (Limitleri verilen işleme yerleştirme): Okunan ilk iki limit toplanır; sıfır olmayan üçüncü limite bölünür. $$\frac{3+6}{4}=\frac{9}{4}$$

Cevap

$\frac{9}{4}$

Örnek 3

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Gösterilen uçtaki doğrusal parçalar aynı biçimde devam etmektedir. $u=-3$ noktasındaki süreklilik durumunu doğru gerekçeyle açıklayan ifade hangisidir?

• A)
  Limit vardır fakat nokta değerinden farklıdır; süreksizdir.
• B)
  Limit ve nokta değeri eşittir; süreklidir.
• C)
  Nokta tanım kümesinin dışındadır.
• D)
  Süreklilik için nokta değeri sıfır olmalıdır.
• E)
  Tek taraflı limitler farklıdır; süreksizdir.

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (İki limit ve nokta değeri): Tek taraflı limitler uçlardan okunur; dolu nokta yoksa fonksiyon değeri tanımsızdır. $$\left(\lim_{u\to -3^-}g(u),\lim_{u\to -3^+}g(u),g(-3)\right)=\left(2,2,0\right)$$

2. Adım (Tanımdaki eşitlikleri karşılaştırma): Süreklilik için tanımlı nokta değeri ile var olan iki taraflı limit eşit olmalıdır. $$\left(2,2,0\right)\;\Longrightarrow\;\text{Limit vardır fakat nokta değerinden farklıdır; süreksizdir.}$$

Cevap

Limit vardır fakat nokta değerinden farklıdır; süreksizdir.

Sık yapılan hatalar

• Fonksiyon noktada tanımsızsa limitin de kesin olmadığını sanmak.
• Tek yönlü limitleri kontrol etmeden iki yönlü limit vermek.

Çalışmaya devam edin