ZenOkul

12. sınıf: Gerçek Sayı Dizileri

Dizi, doğal sayı indisleriyle sıralanan terimlerden oluşur. Genel terim, belirli bir terimi doğrudan; özyinelemeli tanım önceki terimler üzerinden belirlemeye yarar.

Çözüm yaklaşımı

İndisin nereden başladığını ve verilen ilk terimleri okuyun. Aritmetik dizide ortak farkı, geometrik dizide ortak oranı doğrulayın; toplam ile son terimi ayırın.

İlgili kazanımlar

  • 12.2.1.1 Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.
  • 12.2.1.2 Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini bulur.
  • 12.2.1.3 Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
  • 12.2.1.4 Diziler yardımıyla gerçek hayat durumları ile ilgili problemler çözer.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Yaya köprüsünün kenar aydınlatması adımlar hâlinde oluşturuluyor. Her yeni adımda, bir önceki adımdaki her ışıklı kenar parçası aynı sayıda yeni ışıklı kenar parçası ile değiştiriliyor. İlk üç adımdaki aktif parça sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Yatay eksen adım numarasını, düşey eksen aktif parça sayısını göstermektedir. ana_n, nn. adımdaki aktif parça sayısı olduğuna göre, a1a_1 başlangıç değeri ile dizinin indirgeme bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?
  • A)
    a1=2,an+1=3an  (n≥1)a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3a_n\;(n \ge 1)
  • B)
    a1=2,an+1=an+2  (n≥1)a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n + 2\;(n \ge 1)
  • C)
    a1=2,an+1=2an  (n≥1)a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2a_n\;(n \ge 1)
  • D)
    a1=4,an+1=2an  (n≥1)a_1 = 4, \quad a_{n+1} = 2a_n\;(n \ge 1)
  • E)
    a1=2,an+1=12an  (n≥1)a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n\;(n \ge 1)
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Grafikten Dizi Terimlerini Okuma): Grafikte işaretli noktalardan ilk üç dizi değeri okunur: a1=2,a2=4,a3=8a_1 = 2, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = 8
2. Adım (Sabit Çarpanı ve İndirgeme Bağıntısını Belirleme): Ardışık terimlerin oranı sabittir: a2a1=42=2,a3a2=84=2.\frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{2} = 2, \qquad \frac{a_3}{a_2} = \frac{8}{4} = 2. Bu nedenle her terim kendinden önceki terimin 22 katıdır. Başlangıç değeriyle birlikte sonuç a1=2,an+1=2an  (n≥1)\mathbf{a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2a_n\;(n \ge 1)} olur.
Cevap
a1=2,an+1=2an  (n≥1)a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2a_n\;(n \ge 1)

Örnek 2

vn=2n3+2n2+4n−7v_n = 2n^{3}+2n^{2}+4n-7 genel terimiyle verilen dizinin ilk üç terimi aşağıdakilerden hangisidir?
  • A)
    (v1,v2,v3)=(1,77,25)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(1,77,25\right)
  • B)
    (v1,v2,v3)=(1,25,77)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(1,25,77\right)
  • C)
    (v1,v2,v3)=(2,26,78)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(2,26,78\right)
  • D)
    (v1,v2,v3)=(25,77,169)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(25,77,169\right)
  • E)
    (v1,v2,v3)=(−7,1,25)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(-7,1,25\right)
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (İndis Değerlerini Yerine Koyma): Genel terimde sırasıyla n=1n=1, n=2n=2 ve n=3n=3 yazılır: v1=1,v2=25,v3=77v_1 = 1, \quad v_2 = 25, \quad v_3 = 77
2. Adım (İlk Üç Terimi Sıralama): Bulunan değerler indis sırasıyla yazılır: (v1,v2,v3)=(1,25,77)\mathbf{\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(1,25,77\right)}
Cevap
(v1,v2,v3)=(1,25,77)\left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(1,25,77\right)

Örnek 3

Bir robotik atölyesindeki numaralı deneme parkurları aynı artış kuralına göre hazırlanıyor. İlk parkur, 17 adet sınır algılayıcısı içeriyor; her sonraki parkur, bir öncekinden 5 fazla sınır algılayıcısı içeriyor. ana_n, numarası nn olan parkur içindeki sınır algılayıcısı sayısıdır. Bu bilgiler a1=17a_1 = 17 ve an+1−an=5a_{n+1}-a_n = 5 biçiminde özetlenebilir. Dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
  • A)
    an=17n+5a_n = 17n + 5
  • B)
    an=6n+12a_n = 6n + 12
  • C)
    an=5n+12a_n = 5n + 12
  • D)
    an=5n+22a_n = 5n + 22
  • E)
    an=5n+17a_n = 5n + 17
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (İlk Terimi ve Sabit Farkı Belirleme): İlk terim ve ardışık terimler arasındaki sabit fark belirlenir: a1=17,d=5a_1 = 17, \quad d = 5
2. Adım (Genel Terimi Kurma ve Açma): Aritmetik dizinin genel terimi an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d bağıntısıyla yazılır ve açılır: an=17+5⋅(n−1)=5n+12.a_n=17+5\cdot (n-1)=5n + 12. Sonuç an=5n+12\mathbf{a_n = 5n + 12} olur.
Cevap
an=5n+12a_n = 5n + 12

Sık yapılan hatalar

  • Aritmetik dizinin n'inci teriminde n yerine n−1 artış gerektiğini unutmak.
  • Geometrik dizi kuralını ortak farkla kurmak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanında hazırla
Sınıf konularına dön