12. sınıf: Çemberin Analitik İncelenmesi

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• 12.7.1.1 Merkezi ve yarıçapı verilen çemberin denklemini oluşturur.
• 12.7.1.2 Denklemleri verilen doğru ile çemberin birbirine göre durumlarını belirleyerek işlemler yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Analitik düzlemde merkezi $M\left(0,1\right)$ olan ve $P\left(-6,-3\right)$ noktasından geçen çemberin standart denklemini bulunuz.

• A)
  $x^{2}+(y-1)^{2}=52$
• B)
  $x^{2}+(y-1)^{2}=10$
• C)
  $(x-1)^{2}+y^{2}=52$
• D)
  $x^{2}+(y+1)^{2}=52$
• E)
  $x^{2}+(y-1)^{2}=40$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Yarıçapın karesi): Çember üzerindeki noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptır. $$(-6)^{2}+(-3-1)^{2}=52$$

2. Adım (Standart denklem): Merkez ve yarıçapın karesi standart denklemde yerine yazılır. $$M\left(0,1\right),\ r^{2}=52\Longrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}=52$$

Cevap

$x^{2}+(y-1)^{2}=52$

Örnek 2

Analitik düzlemde standart denklemi $(x-3)^{2}+y^{2}=2$ olan çember ile $y=-x+5$ doğrusu veriliyor. Ortak çözüm denkleminin diskriminantını bulup doğrunun çembere göre durumunu belirleyiniz. Cevabı $\left(\Delta;\ \text{durum}\right)$ sırasıyla yazınız.

• A)
  $\left(-272;\ \text{kesişmez}\right)$
• B)
  $\left(128;\ \text{iki farklı noktada keser}\right)$
• C)
  $\left(512;\ \text{iki farklı noktada keser}\right)$
• D)
  $\left(4;\ \text{iki farklı noktada keser}\right)$
• E)
  $\left(0;\ \text{teğettir}\right)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Ortak çözüm): Doğru denklemindeki y ifadesi çember denkleminde yerine yazılıp düzenlenir. $$(x-3)^{2}+(-x+5)^{2}=2\Longrightarrow 2x^{2}-16x+32=0$$

2. Adım (Diskriminant): İkinci dereceden denklemin diskriminantı hesaplanır. $$(-16)^{2}-4\cdot2\cdot32=0$$

3. Adım (Durum): Pozitif diskriminant iki kesim noktası, sıfır teğetlik, negatif kesişmeme demektir. $$\Delta=0\Longrightarrow \left(0;\ \text{teğettir}\right)$$

Cevap

$\left(0;\ \text{teğettir}\right)$

Örnek 3

Analitik düzlemde $A\left(-2,1\right)$ ve $B\left(0,3\right)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını çap kabul eden çemberin standart denklemini bulunuz.

• A)
  $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4$
• B)
  $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=2$
• C)
  $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=2$
• D)
  $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=2$
• E)
  $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=8$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Merkezin apsisi): Çapın orta noktası çemberin merkezidir. $$\frac{-2+0}{2}=-1$$

2. Adım (Merkezin ordinatı): Çapın orta noktası çemberin merkezidir. $$\frac{1+3}{2}=2$$

3. Adım (Yarıçapın karesi): Merkezin çapın bir ucuna uzaklığı yarıçaptır. $$(0-(-1))^{2}+(3-2)^{2}=2$$

4. Adım (Standart denklem): Merkez ve yarıçapın karesi standart denklemde yerine yazılır. $$M\left(-1,2\right),\ r^{2}=2\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=2$$

Cevap

$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=2$

Sık yapılan hatalar

• Tam karedeki işareti merkezin koordinatıyla aynı okumak.
• Denklemde yarıçapın karesini yarıçap kabul etmek.

Çalışmaya devam edin