ZenOkul

12. sınıf: Belirsiz İntegral

Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyona eşit olan fonksiyonlar ailesini ifade eder. Aynı türeve sahip fonksiyonlar sabit terim kadar farklı olabilir.

Çözüm yaklaşımı

İfadeyi uygun temel kurallara ayırın. Sonucu türevleyerek başlangıçtaki integranda ulaşıldığını kontrol edin ve integral sabitini koruyun.

İlgili kazanımlar

  • 12.6.1.1 Bir fonksiyonun belirsiz integralini açıklayarak integral alma kurallarını oluşturur.
  • 12.6.1.2 Değişken değiştirme yoluyla integral alma işlemleri yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Ortak polinom kısmı P(x)=−x3−2xP(x)=-x^{3}-2x olan ve aşağıdaki koordinat düzleminde formülleri F1(x)=−x3−2x−4,F2(x)=−x3−2x−2,F3(x)=−x3−2xF_1(x)=-x^{3}-2x-4,\quad F_2(x)=-x^{3}-2x-2,\quad F_3(x)=-x^{3}-2x olan üç eğri gösterilmiştir. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Bu eğrilerin tamamı aynı ff fonksiyonunun ters türevleridir. f(x)f(x) ifadesi hangisidir?
  • A)
    −x2−2-x^{2}-2
  • B)
    −3x2−2-3x^{2}-2
  • C)
    −x3−2x-x^{3}-2x
  • D)
    −3x2−1-3x^{2}-1
  • E)
    3x2+23x^{2}+2
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Sabit Dikey Farkları Belirleme): Grafikte aynı apsiste işaretlenen noktaların düşey farkı değişmez. Bu fark sıfır olmadığı için eğriler kesişmez; yalnız integral sabitleri farklıdır. Kullanılan kural: Dikey ötelemelerde fonksiyon farkı sabittir. Bu adımda yapılan işlem: F1(x)=−x3−2x−4,F2(x)=−x3−2x−2,F3(x)=−x3−2x  ⟹  F2(x)−F1(x)=2,F3(x)−F2(x)=2F_1(x)=-x^{3}-2x-4,\quad F_2(x)=-x^{3}-2x-2,\quad F_3(x)=-x^{3}-2x\;\Longrightarrow\;F_2(x)-F_1(x)=2,\quad F_3(x)-F_2(x)=2
2. Adım (Ortak Türevi Kurma): İki fonksiyon arasındaki sabit fark türev alınırken yok olur; böylece üç eğrinin de aynı integrandın ters türevleri olduğu görülür. Kullanılan kural: Sabit farkın türevi sıfırdır. Bu adımda yapılan işlem: F2(x)−F1(x)=2,F3(x)−F2(x)=2  ⟹  F1′(x)=F2′(x)=F3′(x)=P′(x)F_2(x)-F_1(x)=2,\quad F_3(x)-F_2(x)=2\;\Longrightarrow\;F_1'(x)=F_2'(x)=F_3'(x)=P'(x)
3. Adım (Ortak İntegrandı Hesaplama): Ortak polinom kısmı türetilir ve dikey öteleme sabitleri hesaba katılmaz. Kullanılan kural: Kuvvet ve sabit terimlerin türev kuralları uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: F1′(x)=F2′(x)=F3′(x)=P′(x)  ⟹  −3x2−2F_1'(x)=F_2'(x)=F_3'(x)=P'(x)\;\Longrightarrow\;-3x^{2}-2
Cevap
−3x2−2-3x^{2}-2

Örnek 2

t>0t>0 aralığında ∫−32t dt\int -\frac{3}{2}\sqrt{t}\,\mathrm{d}t belirsiz integralinin kanonik sonucu hangisidir?
  • A)
    CC
  • B)
    −tt-t\sqrt{t}
  • C)
    tt+Ct\sqrt{t}+C
  • D)
    −tt+C-t\sqrt{t}+C
  • E)
    −t2t+C-t^{2}\sqrt{t}+C
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Yeni Üssü Belirleme): Kuvvet kuralında integrandın üssü bir artırılır; yeni üs sıfır değildir. 12+1  =  32\frac{1}{2}+1\;=\;\frac{3}{2}
2. Adım (Katsayıyı Sadeleştirme): Üs artırıldıktan sonra dış katsayı yeni üse bölünür ve sonuç kanonik kuvvet, kök veya ters kuvvet biçiminde yazılır. (−32)÷(32)  =  −1\left(-\frac{3}{2}\right)\div\left(\frac{3}{2}\right)\;=\;-1
3. Adım (İntegral Sabitini Ekleme): Aynı türevi veren bütün fonksiyonlar için keyfî sabit eklenir. ∫−32t dt  =  −tt+C\int -\frac{3}{2}\sqrt{t}\,\mathrm{d}t\;=\;-t\sqrt{t}+C
Cevap
−tt+C-t\sqrt{t}+C

Örnek 3

t>0t>0 aralığında G(t)=t4+2t−4t+2t−5G(t)=t^{4}+2t-4\sqrt{t}+\frac{2}{t}-5 olarak tanımlanıyor. GG fonksiyonunun diferansiyeli hangisidir?
  • A)
    dG=(4t3+2−2t−2t2) dt\mathrm{d}G=\left(4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}\right)\,\mathrm{d}t
  • B)
    dG=(t4+2t−4t+2t−5) dt\mathrm{d}G=\left(t^{4}+2t-4\sqrt{t}+\frac{2}{t}-5\right)\,\mathrm{d}t
  • C)
    dG=(4t3+2−2t+2t2) dt\mathrm{d}G=\left(4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{2}{t^{2}}\right)\,\mathrm{d}t
  • D)
    dG=(4t3+2−4t−2t2) dt\mathrm{d}G=\left(4t^{3}+2-\frac{4}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}\right)\,\mathrm{d}t
  • E)
    dG=4t3+2−2t−2t2\mathrm{d}G=4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Polinom Terimlerini Türetme): Polinom terimleri türetilir, sabit terim elenir; kök ve ters kuvvet terimleri sonraki adıma açıkça taşınır. Kullanılan kural: Kuvvet kuralı ve sabitin türevinin sıfır olması. Bu adımda yapılan işlem: G(t)=t4+2t−4t+2t−5,t>0  ⟹  G′(t)=4t3+2+ddt(−4t+2t)G(t)=t^{4}+2t-4\sqrt{t}+\frac{2}{t}-5,\quad t>0\;\Longrightarrow\;G'(t)=4t^{3}+2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-4\sqrt{t}+\frac{2}{t}\right)
2. Adım (Kök ve Ters Kuvveti Türetme): t>0t>0 koşulu hem karekökü hem de paydaları geçerli kılar. Kalan iki terimin türevleri önceki çıktıya eklenir. Kullanılan bağıntılar: ddtt=12t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sqrt{t}=\frac{1}{2\sqrt{t}} ddt1t=−1t2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{1}{t}=-\frac{1}{t^2} Bu adımda yapılan işlem: G′(t)=4t3+2+ddt(−4t+2t)  ⟹  G′(t)=4t3+2−2t−2t2G'(t)=4t^{3}+2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-4\sqrt{t}+\frac{2}{t}\right)\;\Longrightarrow\;G'(t)=4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}
3. Adım (Diferansiyeli Yazma): Bulunan türev diferansiyel tanımında yerine konur. Kullanılan bağıntı: dG=G′(t) dt\mathrm{d}G=G'(t)\,\mathrm{d}t Bu adımda yapılan işlem: G′(t)=4t3+2−2t−2t2  ⟹  dG=(4t3+2−2t−2t2) dtG'(t)=4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}\;\Longrightarrow\;\mathrm{d}G=\left(4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}\right)\,\mathrm{d}t
Cevap
dG=(4t3+2−2t−2t2) dt\mathrm{d}G=\left(4t^{3}+2-\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{2}{t^{2}}\right)\,\mathrm{d}t

Sık yapılan hatalar

  • İntegral sabitini yazmamak.
  • Çarpımın integralini iki integralin çarpımı sanmak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanında hazırla
Sınıf konularına dön