12. sınıf: Belirli İntegral Ve Uygulamaları

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• 12.6.2.1 Bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını Riemann toplamı yardımıyla yaklaşık olarak hesaplar.
• 12.6.2.2 Bir fonksiyonun belirli ve belirsiz integralleri arasındaki ilişkiyi açıklayarak işlemler yapar.
• 12.6.2.3 Belirli integralin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
• 12.6.2.4 Belirli integral ile alan hesabı yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Aşağıdaki sahnede $x=1+4y^2$ eğrisinin solunda, $x=1$ doğrusunun sağında ve $y=3$ üst kenarının altında kalan taralı bölge verilmiştir. Alt uç $y=0$ ve sağ üst uç $x=37$ olarak etiketlenmiştir. Taralı bölgenin alanını birimkare cinsinden bulunuz.

• A)
  $72$
• B)
  $108$
• C)
  $-36$
• D)
  $90$
• E)
  $36$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Soldaki Bölgenin Dilim Genişliği): Yatay dilimde sağ sınır parabol, sol sınır sabit doğrudur. Kullanılan kural: Sağ eğriden sol sınırı çıkarma. Bu adımda yapılan işlem: $$(1+4y^2)-1\;\Longrightarrow\;4y^2$$

2. Adım (Dilimleri Toplama): Dilimler sıfırdan yatay üst kenara kadar toplanır. Kullanılan kural: Genişliği alt ve üst sınırlar arasında integre etme. Bu adımda yapılan işlem: $$4y^2\;\Longrightarrow\;\int_0^{3}4y^2\,dy$$

3. Adım (Primitive Farkını Kurma): Kuvvet terimi integre edilir; belirli integral uç farkıdır. Kullanılan kural: Kuvvet teriminin integralini alma. Bu adımda yapılan işlem: $$\int_0^{3}4y^2\,dy\;\Longrightarrow\;\left[\frac{4}{3}y^3\right]_0^{3}$$

4. Adım (Alanı Hesaplama): Primitive üst ve alt sınırlarda değerlendirilir; alan pozitiftir. Kullanılan kural: Üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkarma. Bu adımda yapılan işlem: $$\left[\frac{4}{3}y^3\right]_0^{3}\;\Longrightarrow\;36$$

Cevap

$36$

Sık yapılan hatalar

• Geometrik alanı işaretli integral sonucu ile koşulsuz eşitlemek.
• Üst ve alt eğrinin değiştiği noktada aralığı bölmemek.

Çalışmaya devam edin