ZenOkul

12. sınıf: Anlık Değişim Oranı Ve Türev

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim oranını ve grafiğe çizilen teğetin eğimini ifade eder. Ortalama değişim oranından limit yoluyla elde edilir.

Çözüm yaklaşımı

Türevi hangi değişkene göre aldığınızı ve iç fonksiyonları belirleyin. Çarpım, bölüm ve zincir kurallarını uygun yerde kullanın; geometrik yorumda teğet eğimini nokta bilgisiyle birleştirin.

İlgili kazanımlar

  • 12.5.2.1 Türev kavramını açıklayarak işlemler yapar.
  • 12.5.2.2 Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta türevlenebilirliğini değerlendirir.
  • 12.5.2.3 Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün türevine ait kurallar yardımıyla işlemler yapar.
  • 12.5.2.4 İki fonksiyonun bileşkesinin türevine ait kuralı (zincir kuralı) oluşturularak türev hesabı yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Aşağıda f(x)=2x2+5x−1f(x)=2x^{2}+5x-1 eğrisi ile eğri üzerindeki PP ve QQ noktaları verilmiştir. Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri Fonksiyonun [−2,2][-2,2] aralığındaki ortalama değişim oranı kaçtır?
  • A)
    −5-5
  • B)
    55
  • C)
    15\frac{1}{5}
  • D)
    54\frac{5}{4}
  • E)
    2020
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Sekantın Uç Değerlerini Belirleme): Grafikte işaretlenen iki noktanın ordinatları aynı fonksiyon kuralından tam olarak hesaplanır. Kullanılan bağıntı: P=(a,f(a)),Q=(b,f(b))P=(a,f(a)),\quad Q=(b,f(b)) Bu adımda yapılan işlem: f(x)=2x2+5x−1,xP=−2,xQ=2  ⟹  f(−2)=−3,f(2)=17f(x)=2x^{2}+5x-1,\quad x_P=-2,\quad x_Q=2\;\Longrightarrow\;f(-2)=-3,\quad f(2)=17
2. Adım (Ortalama Değişim Oranını Hesaplama): Ordinat farkı apsis farkına bölündüğünde PQ sekantının eğimi ve ortalama değişim oranı elde edilir. Kullanılan bağıntı: f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} Bu adımda yapılan işlem: f(−2)=−3,f(2)=17,xP=−2,xQ=2  ⟹  5f(-2)=-3,\quad f(2)=17,\quad x_P=-2,\quad x_Q=2\;\Longrightarrow\;5
Cevap
55

Örnek 2

Soruda veya çözümde verilen grafik ve etiketleri f(x)={2x2−x−2,x≤0−2x2−2,x>0f(x)=\begin{cases}2x^{2}-x-2,&x\le 0\\-2x^{2}-2,&x>0\end{cases} için (f′(0−),f′(0+),x=0 noktasında tu¨rev)\left(f'(0^-),f'(0^+),x=0\text{ noktasında türev}\right) üçlüsü aşağıdakilerden hangisidir? Son bileşende türevin varlığını belirtiniz.
  • A)
    (−3,−2,yoktur)\left(-3,-2,\text{yoktur}\right)
  • B)
    (−1,0,vardır)\left(-1,0,\text{vardır}\right)
  • C)
    (−3,0,yoktur)\left(-3,0,\text{yoktur}\right)
  • D)
    (−1,0,yoktur)\left(-1,0,\text{yoktur}\right)
  • E)
    (−1,−2,yoktur)\left(-1,-2,\text{yoktur}\right)
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Birleşme Değerini Denetleme): İki dal aynı sabit terimle birleştiği için fonksiyon seçilen apsiste süreklidir. Kullanılan bağıntı: lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x)\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c^+}f(x) Bu adımda yapılan işlem: f(x)={2x2−x−2,x≤0−2x2−2,x>0  ⟹  f(0−)=f(0)=f(0+)=−2f(x)=\begin{cases}2x^{2}-x-2,&x\le 0\\-2x^{2}-2,&x>0\end{cases}\;\Longrightarrow\;f(0^-)=f(0)=f(0^+)=-2
2. Adım (Tek Yanlı Türevleri Bulma): Birleşme çevresindeki yerel doğrusal katsayılar sırasıyla sol ve sağ türevleri verir. Kullanılan bağıntı: f′(c−)=lim⁡h→0−f(c+h)−f(c)h,f′(c+)=lim⁡h→0+f(c+h)−f(c)hf'(c^-)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h},\quad f'(c^+)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} Bu adımda yapılan işlem: f(x)={2x2−x−2,x≤0−2x2−2,x>0,f(0−)=f(0)=f(0+)=−2  ⟹  f′(0−)=−1,f′(0+)=0f(x)=\begin{cases}2x^{2}-x-2,&x\le 0\\-2x^{2}-2,&x>0\end{cases},\quad f(0^-)=f(0)=f(0^+)=-2\;\Longrightarrow\;f'(0^-)=-1,\quad f'(0^+)=0
3. Adım (Türevlenebilirlik Kararı Verme): İki tek yanlı türev karşılaştırılır ve sonuç istenen sıralı üçlüde gösterilir. Kullanılan bağıntı: f′(c−)=f′(c+)⟺f′(c) vardırf'(c^-) = f'(c^+)\Longleftrightarrow f'(c)\text{ vardır} Bu adımda yapılan işlem: f′(0−)=−1,f′(0+)=0  ⟹  (−1,0,yoktur)f'(0^-)=-1,\quad f'(0^+)=0\;\Longrightarrow\;\left(-1,0,\text{yoktur}\right)
Cevap
(−1,0,yoktur)\left(-1,0,\text{yoktur}\right)

Örnek 3

x>0x>0 olmak üzere f(x)=−5x4+6x13−3x4−5f(x)=-5x^{4}+6x^{\frac{1}{3}}-\frac{3}{x^{4}}-5 fonksiyonunun türevini bulunuz.
  • A)
    −20x3+2x23−12x5-20x^{3}+\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{12}{x^{5}}
  • B)
    −5x3+6x23−3x5-5x^{3}+\frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{3}{x^{5}}
  • C)
    −20x3+2x23+12x5-20x^{3}+\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}+\frac{12}{x^{5}}
  • D)
    −20x3+2x23+12x5−5-20x^{3}+\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}+\frac{12}{x^{5}}-5
  • E)
    −20x4+2x13+12x4-20x^{4}+2x^{\frac{1}{3}}+\frac{12}{x^{4}}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Toplam-Fark Kuralını Dağıtma): Türev operatörü her kuvvet terimine ve sabit terime kendi işareti korunarak dağıtılır. Kullanılan kural: Toplamın ve farkın türevi, terimlerin türevlerinin toplamı ve farkıdır. Bu adımda yapılan işlem: f(x)=−5x4+6x13−3x4−5  ⟹  f′(x)=−ddx(5x4)+ddx(6x13)−ddx(3x4)−ddx(5)f(x)=-5x^{4}+6x^{\frac{1}{3}}-\frac{3}{x^{4}}-5\;\Longrightarrow\;f'(x)=-\frac{d}{dx}\left(5x^{4}\right)+\frac{d}{dx}\left(6x^{\frac{1}{3}}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x^{4}}\right)-\frac{d}{dx}\left(5\right)
2. Adım (Her Terimde Kuvvet Kuralını Uygulama): Her kuvvet teriminde üs katsayıyla çarpılır ve bir azaltılır; sabit terimin türevi sıfırdır. Kullanılan bağıntı: (axr)′=arxr−1,c′=0(ax^r)'=arx^{r-1},\quad c'=0 Bu adımda yapılan işlem: f′(x)=−ddx(5x4)+ddx(6x13)−ddx(3x4)−ddx(5)  ⟹  −20x3+2x23+12x5f'(x)=-\frac{d}{dx}\left(5x^{4}\right)+\frac{d}{dx}\left(6x^{\frac{1}{3}}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x^{4}}\right)-\frac{d}{dx}\left(5\right)\;\Longrightarrow\;-20x^{3}+\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}+\frac{12}{x^{5}}
Cevap
−20x3+2x23+12x5-20x^{3}+\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}+\frac{12}{x^{5}}

Sık yapılan hatalar

  • Bileşke fonksiyonun türevinde iç fonksiyonun türevini atlamak.
  • Bir fonksiyonun türevini fonksiyon değeriyle karıştırmak.

Çalışmaya devam edin

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanında hazırla
Sınıf konularına dön