12. sınıf: Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• 12.4.1.1 Analitik düzlemde koordinatları verilen bir noktanın öteleme, dönme ve simetri dönüşümleri altındaki görüntüsünün koordinatlarını bulur.
• 12.4.1.2 Temel dönüşümler ve bileşkeleriyle ilgili problem çözer.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Bir haritalama yazılımında mavi $\mathcal{P}$ sınırının sıralı köşeleri, aynı indisli turuncu $\mathcal{P}'$ köşelerine eşlenmiştir. Uygulanan temel dönüşümün türü hangisidir?

• A)
  Kesme
• B)
  Dönme
• C)
  Öteleme
• D)
  Ölçekleme
• E)
  Simetri

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Eşlenen Köşeleri Karşılaştırma): Her köşe ile aynı indisli görüntüsü karşılaştırılarak ortak koordinat kuralı belirlenir. Kullanılan kural: Sıralı köşeler aynı indisle eşleştirilir. Bu adımda yapılan işlem: $$\mathcal{P}:\ P_{1}=(-3,-3),\quad P_{2}=(1,-3),\quad P_{3}=(-2,0)\ ;\ \mathcal{P}':\ P_{1}'=(3,-3),\quad P_{2}'=(3,1),\quad P_{3}'=(0,-2)\;\Longrightarrow\;(x,y)\mapsto(-y,x)$$

2. Adım (Geometrik Dönüşümü Belirleme): Koordinat kuralı, orijin çevresindeki dönmenin yönünü ve açısını doğrudan gösterir. Kullanılan kural: Koordinat kuralından dönme yönünü ve açısını okuma. Bu adımda yapılan işlem: $$(x,y)\mapsto(-y,x)\;\Longrightarrow\;\text{Orijin etrafında }90^\circ\text{ saat yönünün tersine dönme}$$

3. Adım (Dönüşüm Türünü Adlandırma): Belirlenen geometrik dönüşüm, temel dönüşüm sınıfıyla adlandırılır. Kullanılan kural: Geometrik dönüşümü temel dönüşüm sınıfıyla eşleştirme. Bu adımda yapılan işlem: $$\text{Orijin etrafında }90^\circ\text{ saat yönünün tersine dönme}\;\Longrightarrow\;\text{Dönme}$$

Cevap

Dönme

Örnek 2

Bir radar izi $P=\left(-12,v\right)$ biçiminde ve $P\in \mathrm{II}$ olacak şekilde kaydedilmiştir. $|OP|=13$ ve dönme açısı $\alpha=-60^\circ$ olduğuna göre $P'$ görüntüsü hangisidir?

• A)
  $P'=\left(\frac{5}{2} + 6 \sqrt{3},6 - \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$
• B)
  $P'=\left(- 6 \sqrt{3} - \frac{5}{2},-6 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$
• C)
  $P'=\left(6 - \frac{5 \sqrt{3}}{2},- 6 \sqrt{3} - \frac{5}{2}\right)$
• D)
  $P'=\left(-6 + \frac{5 \sqrt{3}}{2},\frac{5}{2} + 6 \sqrt{3}\right)$
• E)
  $P'=\left(-12 + 5 \sqrt{3},5 + 12 \sqrt{3}\right)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Uzaklık Koşulunu Denkleme Çevirme): Görünen verilerden bu adımdaki exact dönüşüm uygulanır. Kullanılan kural: Görünen koordinat dönüşümü exact olarak uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: $$P=\left(-12,v\right),\quad |OP|=13,\quad P\in \mathrm{II},\quad \alpha=-60^\circ\;\Longrightarrow\;\left(-12\right)^2+v^2=13^2$$

2. Adım (Bölgeyle Doğru İşareti Seçme): Görünen verilerden bu adımdaki exact dönüşüm uygulanır. Kullanılan kural: Görünen koordinat dönüşümü exact olarak uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: $$\left(-12\right)^2+v^2=13^2\;\Longrightarrow\;v=5$$

3. Adım (Başlangıç Noktasını Tamamlama): Görünen verilerden bu adımdaki exact dönüşüm uygulanır. Kullanılan kural: Görünen koordinat dönüşümü exact olarak uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: $$v=5\;\Longrightarrow\;P=\left(-12,5\right),\quad \alpha=-60^\circ$$

4. Adım (Tam Noktayı Döndürme): Görünen verilerden bu adımdaki exact dönüşüm uygulanır. Kullanılan kural: Görünen koordinat dönüşümü exact olarak uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: $$P=\left(-12,5\right),\quad \alpha=-60^\circ\;\Longrightarrow\;R_{-60^\circ}(P)=\left(-12\cos(-60^\circ)-5\sin(-60^\circ),-12\sin(-60^\circ)+5\cos(-60^\circ)\right)$$

5. Adım (Görüntü Noktasını Yazma): Görünen verilerden bu adımdaki exact dönüşüm uygulanır. Kullanılan kural: Görünen koordinat dönüşümü exact olarak uygulanır. Bu adımda yapılan işlem: $$R_{-60^\circ}(P)=\left(-12\cos(-60^\circ)-5\sin(-60^\circ),-12\sin(-60^\circ)+5\cos(-60^\circ)\right)\;\Longrightarrow\;P'=\left(-6 + \frac{5 \sqrt{3}}{2},\frac{5}{2} + 6 \sqrt{3}\right)$$

Cevap

$P'=\left(-6 + \frac{5 \sqrt{3}}{2},\frac{5}{2} + 6 \sqrt{3}\right)$

Örnek 3

Bir rota bölgesinin sıralı köşelerine orijin çevresinde saat yönünün tersine $90^\circ$ dönme uygulanacaktır. Görüntü bölgesinin $P_1',P_2',P_3'$ köşeleri aşağıdakilerden hangisidir?

• A)
  $P_{1}'=(3,-3),\quad P_{2}'=(-1,-3),\quad P_{3}'=(2,0)$
• B)
  $P_{1}'=(3,-3),\quad P_{2}'=(3,1),\quad P_{3}'=(0,-2)$
• C)
  $P_{1}'=(3,3),\quad P_{2}'=(-1,3),\quad P_{3}'=(2,0)$
• D)
  $P_{1}'=(-3,3),\quad P_{2}'=(-3,-1),\quad P_{3}'=(0,2)$
• E)
  $P_{1}'=(-3,3),\quad P_{2}'=(1,3),\quad P_{3}'=(-2,0)$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Koordinat Kuralını Yazma): Komut kartındaki temel dönüşüm, her köşeye ayrı ayrı uygulanacak tek koordinat kuralı olarak yazılır. Kullanılan kural: Verilen temel dönüşümü koordinat eşlemesine çevirme. Bu adımda yapılan işlem: $$\mathcal{P}:\ P_{1}=(-3,-3),\quad P_{2}=(1,-3),\quad P_{3}=(-2,0)\;\Longrightarrow\;F(x,y)=(-y,x)$$

2. Adım (Köşeleri Kurala Yerleştirme): Üç köşenin koordinatları indis sırası korunarak dönüşüm kuralında yerine konur. Kullanılan kural: Sıralı her köşeyi aynı dönüşüm kuralına yerleştirme. Bu adımda yapılan işlem: $$F(x,y)=(-y,x)\;\Longrightarrow\;P_{1}'=(-(-3),-3),\quad P_{2}'=(-(-3),1),\quad P_{3}'=(-(0),-2)$$

3. Adım (Görüntü Koordinatlarını Düzenleme): Her koordinat bileşeni hesaplanıp görüntü köşeleri aynı sırayla yazılır. Kullanılan kural: İşaret ve tam sayı işlemlerini sadeleştirme. Bu adımda yapılan işlem: $$P_{1}'=(-(-3),-3),\quad P_{2}'=(-(-3),1),\quad P_{3}'=(-(0),-2)\;\Longrightarrow\;P_{1}'=(3,-3),\quad P_{2}'=(3,1),\quad P_{3}'=(0,-2)$$

Cevap

$P_{1}'=(3,-3),\quad P_{2}'=(3,1),\quad P_{3}'=(0,-2)$

Sık yapılan hatalar

• Orijin etrafındaki dönme kuralını farklı merkezlerde doğrudan kullanmak.
• Ardışık dönüşümlerin sırasını ters çevirmek.

Çalışmaya devam edin