ZenOkul

10. sınıf: Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik bir ifadeyi dönüştürürken açı aralığını ve ifadelerin tanımlı olduğu koşulları koruyun. Buradaki örnekler dar açılarla çalışır. Toplamın karesini açmak, sinüs ile kosinüsün çarpımını veya tanjant ile kotanjantın kareleri toplamını bulmak için kullanılabilir.

Toplamın karesini eksiksiz açın

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 olduğundan ortadaki çarpım terimi atlanmaz. sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x ifadesinin karesinde 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x terimi bulunur.

Temel özdeşliği kullanın

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 özdeşliğini yerine koyarak bilinmeyen çarpımı yalnız bırakabilirsiniz. Tanjant ve kotanjant tanımlı olduğunda tan⁡xcot⁡x=1\tan x\cot x=1 olur.

Tümler açıları fark edin

Dar açılar için tan⁡xtan⁡(90∘−x)=1\tan x\tan(90^\circ-x)=1 ilişkisi kullanılabilir. 45∘45^\circ için sinüs ve kosinüs eşittir. Böylece bazı çarpımlar doğrudan sadeleşir.

Çözümlü sorular

Örnek 1

0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ olmak üzere, sin⁡x+cos⁡x=109\sin x + \cos x = \frac{10}{9} olduğuna göre sin⁡x⋅cos⁡x\sin x \cdot \cos x çarpımının değeri kaçtır?
  • A)
    19162\frac{19}{162}
  • B)
    59\frac{5}{9}
  • C)
    12\frac{1}{2}
  • D)
    1981\frac{19}{81}
  • E)
    118\frac{1}{18}
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Eşitliğin Her İki Tarafının Karesini Alma): sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği kullanıldığında 1+2sin⁡xcos⁡x=100811 + 2\sin x \cos x = \frac{100}{81} elde edilir. Kullanılan kural: (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+2sin⁡xcos⁡x=(109)2=10081(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = \left(\frac{10}{9}\right)^2 = \frac{100}{81} Bu adımda yapılan işlem: (sin⁡x+cos⁡x)2=(109)2  ⟹  1+2sin⁡xcos⁡x=10081(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{10}{9}\right)^2\;\Longrightarrow\;1 + 2\sin x \cos x = \frac{100}{81}
2. Adım (sin⁡x⋅cos⁡x\sin x \cdot \cos x Çarpımını Yalnız Bırakma): sin⁡x⋅cos⁡x\sin x \cdot \cos x çarpımı 19162\frac{19}{162} bulunur. Kullanılan kural: 2sin⁡xcos⁡x=10081−1=1981  ⟹  sin⁡xcos⁡x=19812=191622\sin x \cos x = \frac{100}{81} - 1 = \frac{19}{81} \implies \sin x \cos x = \frac{\frac{19}{81}}{2} = \frac{19}{162} Bu adımda yapılan işlem: 19812  ⟹  19162\frac{\frac{19}{81}}{2}\;\Longrightarrow\;\frac{19}{162}
Cevap
19162\frac{19}{162}

Örnek 2

7⋅sin⁡45∘cos⁡45∘+4⋅tan⁡20∘⋅tan⁡70∘7 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} + 4 \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ ifadesinin değeri kaçtır?
  • A)
    1111
  • B)
    77
  • C)
    1212
  • D)
    44
  • E)
    1010
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Tümler Açılarda Trigonometrik Özdeşlikleri Uygulama): Tümler açıların sinüs ve kosinüsleri birbirine eşit, tanjantları çarpımı 11 olduğundan ifade 7+4=117 + 4 = 11 olur. Kullanılan kural: α+β=90∘  ⟹  sin⁡α=cos⁡β  ⟹  sin⁡45∘cos⁡45∘=1;tan⁡α⋅tan⁡β=1  ⟹  tan⁡20∘⋅tan⁡70∘=1\alpha + \beta = 90^\circ \implies \sin \alpha = \cos \beta \implies \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = 1;\quad \tan \alpha \cdot \tan \beta = 1 \implies \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ = 1 Bu adımda yapılan işlem: 7⋅sin⁡45∘cos⁡45∘+4⋅tan⁡20∘⋅tan⁡70∘  ⟹  117 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} + 4 \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ\;\Longrightarrow\;11
Cevap
1111

Örnek 3

0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ olmak üzere, tan⁡x+cot⁡x=8\tan x + \cot x = 8 olduğuna göre tan⁡2x+cot⁡2x\tan^2 x + \cot^2 x ifadesinin değeri kaçtır?
  • A)
    1616
  • B)
    6262
  • C)
    6666
  • D)
    6060
  • E)
    6464
Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (tan⁡x+cot⁡x\tan x + \cot x İfadesinin Karesini Alma): Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında tan⁡2x+2tan⁡xcot⁡x+cot⁡2x=64\tan^2 x + 2\tan x \cot x + \cot^2 x = 64 elde edilir. Kullanılan kural: (tan⁡x+cot⁡x)2=tan⁡2x+2tan⁡xcot⁡x+cot⁡2x=82=64(\tan x + \cot x)^2 = \tan^2 x + 2\tan x \cot x + \cot^2 x = 8^2 = 64 Bu adımda yapılan işlem: (tan⁡x+cot⁡x)2=82  ⟹  tan⁡2x+2tan⁡xcot⁡x+cot⁡2x=64(\tan x + \cot x)^2 = 8^2\;\Longrightarrow\;\tan^2 x + 2\tan x \cot x + \cot^2 x = 64
2. Adım (tan⁡x⋅cot⁡x=1\tan x \cdot \cot x = 1 Özdeşliğini Kullanarak tan⁡2x+cot⁡2x\tan^2 x + \cot^2 x'i Bulma): tan⁡2x+cot⁡2x=62\tan^2 x + \cot^2 x = 62 bulunur. Kullanılan kural: tan⁡x⋅cot⁡x=1  ⟹  tan⁡2x+2(1)+cot⁡2x=64  ⟹  tan⁡2x+cot⁡2x=64−2=62\tan x \cdot \cot x = 1 \implies \tan^2 x + 2(1) + \cot^2 x = 64 \implies \tan^2 x + \cot^2 x = 64 - 2 = 62 Bu adımda yapılan işlem: 64−2  ⟹  6264 - 2\;\Longrightarrow\;62
Cevap
6262

Sık yapılan hatalar

  • Toplamın karesini, karelerin toplamı sanmak.
  • Bir özdeşliği kullanırken açı veya tanım koşulunu göz ardı etmek.

Çalışmaya devam edin

Çözümde kullandığınız yöntemi farklı sorular üzerinde deneyin. Öğrenci alanında mevcut konulara göre çalışabilir, öğretmen alanında sınıfınıza uygun çalışma kâğıtları hazırlayabilirsiniz.

Öğrenci alanında çalışÖğretmen alanına geç
10. sınıf konularına dön