10. sınıf: Geometrik Şekiller

Çözüm yaklaşımı

İlgili kazanımlar

• MAT.10.1.1 Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme
• MAT.10.1.2 Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme
• MAT.10.1.3 Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine ilişkin çıkarım yapabilme
• MAT.10.1.4 Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme

Çözümlü örnekler

Örnek 1

$0^\circ < x < 90^\circ$ olmak üzere, $$\tan x = \frac{24}{7}$$ olduğuna göre $\sin x + \cos x$ toplamının değeri kaçtır?

• A)
  $\frac{31}{168}$
• B)
  $\frac{7}{25}$
• C)
  $\frac{24}{25}$
• D)
  $\frac{25}{31}$
• E)
  $\frac{31}{25}$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Tanjant Oranından Dik Kenarları ve Hipotenüsü Belirleme): Dik üçgenin kenarları $24$, $7$ ve hipotenüsü $25$ bulunur. Kullanılan kural: $$\tan x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{24}{7} \implies \text{Karşı} = 24,\; \text{Komşu} = 7,\; \text{Hipotenüs} = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25$$ Bu adımda yapılan işlem: $$\tan x = \frac{24}{7}\;\Longrightarrow\;\text{Hipotenüs} = 25$$

2. Adım (Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Toplama): İfadenin değeri $\frac{31}{25}$ olarak elde edilir. Kullanılan kural: $$\sin x + \cos x = \frac{24}{25} + \frac{7}{25} = \frac{31}{25}$$ Bu adımda yapılan işlem: $$\frac{24}{25} + \frac{7}{25}\;\Longrightarrow\;\frac{31}{25}$$

Cevap

$\frac{31}{25}$

Örnek 2

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|AB| = 9\text{ cm}$, $|AC| = 12\text{ cm}$ ve $|DC| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre $|BD|$ kaç santimetredir?

• A)
  $4$
• B)
  $3$
• C)
  $-3$
• D)
  $5$
• E)
  $1$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (İç Açıortay Teoremini Uygulama): İç açıortay kuralı gereğince $|BD| = 3\text{ cm}$ bulunur. Kullanılan kural: $$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \implies \frac{9}{12} = \frac{|BD|}{4}$$ Bu adımda yapılan işlem: $$\frac{9}{12} = \frac{|BD|}{4}\;\Longrightarrow\;3$$

Cevap

$3$

Örnek 3

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 18\text{ cm}$, $|AC| = 8\text{ cm}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 30^\circ$'dir. Buna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

• A)
  $144\text{ cm}^2$
• B)
  $26\text{ cm}^2$
• C)
  $15\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• D)
  $36\text{ cm}^2$
• E)
  $72\text{ cm}^2$

Çözümü ve cevabı göster

↔ Uzun ifadeleri yatay kaydırabilirsiniz.

1. Adım (Sinüslü Alan Bağıntısını Kurma): $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ değeri formülde yerine yazıldığında alan $36\text{ cm}^2$ bulunur. Kullanılan kural: $$\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$$ Bu adımda yapılan işlem: $$\frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)\;\Longrightarrow\;36\text{ cm}^2$$

Cevap

$36\text{ cm}^2$

Sık yapılan hatalar

• Sinüs teoreminde kenarı karşısındaki açı yerine komşu açıyla eşleştirmek.
• Dik olmayan bir üçgende dik üçgen oranlarını doğrudan kullanmak.

Çalışmaya devam edin